Comment calculer l'image et l'antécédent d'un réel - Méthodes-G

On considère la fonction affine \(g\) définie sur `` \(\mathbb{R}\) `` par : \(g(x) =~ – 7x~ – 3\) .

On peut calculer l'image de tout réel  par la fonction  \(g\) , par exemple :

\(g~(2) =~ – 7 × 2 ~–3 =-14 ~-3=~ – 17\) . Ainsi l’image de \(2\) par la fonction  \(g\) est \(– 17\) .     

\(g~(–5) = ~– 7 × (–5) ~– 3 = 35 -3=32\)     L’image de \(–5\) par \(g\) est \(32\) .

Propriété
Tout réel a un unique antécédent par une fonction affine non constante.

On peut calculer l'antécédent de tout réel  par la fonction  \(g\) . Pour déterminer, par exemple, l’antécédent de \(– 28\) par \(g\) il faut résoudre l’équation  \(g(x)=\) \(-28\) .

\(~~~~~~~~~g(x) =~ – 28\)

\({\displaystyle \iff }– 7x~ – 3 = ~– 28\)

\({\displaystyle \iff }– 7x = ~– 25\)

\({\displaystyle \iff x = \frac{25}{7}}\)

Ces nombres peuvent être présentés dans un  tableau de valeurs :

Pour aller un peu plus loin

On va démontrer la propriété utilisée précédemment.
Tout réel a un unique antécédent par une fonction affine non constante (coefficient \(m\) non nul).

Démonstration
On considère une fonction affine \(g\) définie sur  \(\mathbb{R}\)  par  \(g(x) =~ mx~ + p\)  ( \(m\) et \(p\) étant deux réels, \(m\) non nul) et un réel \(r\) . Les antécédents par la fonction  \(g\)  du réel  \(r\) sont les solutions de l’équation : \(mx + p = r\) .

\(~~~~~~~~~mx + p = r\)

\({\displaystyle \iff } mx = r - p\)

\({\displaystyle \iff }x = \frac{r-p}{m}\)   ( \(m\) non nul) 

     \(S = \{\frac{r-p}{m}\}\)        

Il y a bien une unique solution, l'unique antécédent de \(r\) par la fonction \(g\) est le réel  \(\frac{r-p}{m}\) .